«Подмышка» ―
1) внутренняя часть плечевого сгиба;
2) часть одежды, приходящаяся на это место.
Это ИМЯ СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ, а, значит, склоняется:
И.п. ЧТО? подмышка, подмышки
Р.п. ЧЕГО? подмышки, подмышек
Д.п. К ЧЕМУ? к подмышке, к подмышкам
В.п. (вижу) ЧТО? подмышку, подмышки
Т.п. ЧЕМ? подмышкой, подмышками
П.п. О ЧЁМ? о подмышке, о подмышках
Слова "мышка" и "мышца" - родственные, оба восходят к латинскому musculus (мышонок).
Отсюда и ПОДМЫШКИ (буквально "область под мышцей").
ПОД МЫШКАМИ, ПОД МЫШКИ, ПОД МЫШКОЙ, ПОД МЫШКУ, ИЗ-ПОД МЫШЕК ― это всё НАРЕЧИЯ, вернее ― наречные сочетания.
Это не формы одного и того же слова, а самостоятельные слова.
Обычно они зависят в предложении от глагола-сказуемого и отвечают на ОБСТОЯТЕЛЬСТВЕННЫЕ вопросы:
Где?
Куда?
Как?
Каким образом?
Воспринимать их нужно как полноценное сочетание ПОД МЫШЦЕЙ ― ещё один предлог ПОД здесь ЛИШНИЙ:
правильно будет «взять ребёнка под мышки», а не «взять под подмышки», «взять под под мышки».