Почему ЖИ-ШИ пиши с буквой И?

Это связано с исторической традицией. Примерно до 14 века звуки [ж’] и [ш’] были всегда мягкими.
В русском языке показать мягкость согласного можно с помощью следующего за ним звука, а такими у нас являются е/ё, ю/я, и.
Соответственно, с всегда мягкими [ж’] и [ш’] писали букву И.
С течением времени Ж и Ш отвердели, но писать продолжали по старой привычке с буквой И.
Так, это написание сохраняется и сейчас, хотя в таких словах мы отчетливо слышим [ы]: живот, камыши.
Более того, в некоторых словах и по сей день сохраняется мягкое произношение: вожжи, дрожжи.