Нужно ли менять загранпаспорт при смене фамилии?

Коротко

Да.

Подробно

При изменении фамилии загранпаспорт действует 6 месяцев, потом он считается недействительным. Замените его в течение этого срока, если планируете выезжать за границу.
Основание: ст. 8.1 Федерального закона № 114-ФЗ от 15.08.1996

Если не поменять загранпаспорт

Выезд за пределы Российской Федерации осуществляется по действительным документам. Предоставление недействительных документов — основание для отказа в пропуске через государственную границу.
Сотрудники пограничных органов или консульства имеют право изъять недействительный документ.

Как заменить загранпаспорт

Сначала замените внутрироссийский паспорт, а затем закажите новый загранпаспорт через Госуслуги. В заявлении укажите, что оформляете загранпаспорт взамен действующего.

Госпошлина

Нового образца с биометрией — 6 000 ₽ за взрослого и 3 000 ₽ за ребенка до 14 лет.
Загранпаспорт старого образца — 2 000 ₽ и 1 000 ₽ соответственно.
17 постов про личные документы 
Какие документы можно заменить на Госуслугах 
Госуслуги