Что делать, если ребёнок боится ошибиться, если он заранее уверен, что не получится и часто предпочитает не делать совсем?

Безусловно заставлять ребёнка не надо, но вам нужно однозначно обозначить свою позицию.
Есть довольно популярная в прошлом и любимая многими психологами рекомендация. Звучит она приблизительно так: «Ничего, что у тебя не получается - надо стараться и у тебя обязательно получится, пойди и попробуй ещё!» А если у него никогда не получится? Что тогда? Эта позиция не кажется мне конструктивной.
Правильнее, на мой взгляд сказать: «Мне хотелось бы, чтобы ты попробовал». Может ребёнок проигнорировать вашу просьбу? Может. Это тоже допустимый сценарий.
Если он пробует и у него получается - говорим: мы большие умницы, я довольна, что ты попробовал и у тебя получилось. Если пробует и не получается - я довольна, что ты попытался, я вижу, что у тебя не получилось, но N попыток приводят к результату. Или не приводят, но приводят к привычке пытаться, а значит повышают шанс на успех. Такая позиция видится мне более конструктивной и честной.