Родился в многодетной ингушской семье: у него шесть братьев и пять сестёр.

Рос в селе Тарское. Обучался в школе-интернате в Беслане.
Военная карьера Править
С 1982 года по 1984 год проходил срочную службу в морской пехоте Тихоокеанского флота].
По окончании службы был рекомендован для сдачи экзаменов в Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище. Евкуров поступил в это училище в 1985 году и окончил его в 1989 году. Службу начинал в разведроте 350-го гвардейского парашютно-десантного полка в Белоруссии, в Боровухе 1.
В 1997 году окончил Военную академию имени М. В. Фрунзе.
Служил на командных должностях в ВДВ. Принимал участие в контртеррористических операциях на Северном Кавказе. В частности, отряд подполковника Евкурова, выполняя одно из заданий по разведке местности, обнаружил и вызволил из чеченского плена 12 российских военнослужащих, причём начальник штаба 217-го гвардейского парашютно-десантного полка 98-й гвардейской Свирской Краснознамённой ордена Кутузова 2-степени воздушно-десантной дивизии лично принимал участие в этой боевой операции.
Юнус-бек Евкуров возле памятника Г.К. Жукову у штаба ЦВО (ранее - ПУрВО) в Екатеринбурге, где он проходил службу. 1 октября 2015 года
В июне 1999 года Евкуров находился в сербо-боснийском городе Углевик (серб. Угљевик) в составе российского контингента в Боснии и Герцеговине под эгидой SFOR.
В интервью с Юнус-беком Евкуровым (на момент освещаемых событий — майором) стало известно, что начиная с конца мая 1999 года группа в составе 18 бойцов ГРУ тайно проникла на территорию аэропорта Слатина и фактически контролировала его до подхода десантного батальона. Все обстоятельства данной операции до сих пор засекречены.
13 апреля 2000 года Юнус-беку Евкурову присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением медали «Золотая Звезда». По словам Евкурова — за бросок на Приштину российских десантников.
В 2004 году окончил Академию Генерального штаба.
С 2004 года — полковник, заместитель начальника разведывательного управления Приволжско-Уральского военного округа (Екатеринбург